关键词  卡尔曼滤波；粒子滤波；序列蒙特卡洛；贝叶斯滤波；高斯混合采样

 

    贝叶斯方法为动态系统的估计问题提供了一类严谨的解决框架。它利用已知的信息建立系统的概率密度函数可以得到对系统状态估计的最优解。对于线性高斯的估计问题，期望的概率密度函数仍是高斯分布，它的分布特性可用均值和方差来描述。卡尔曼滤波器很好地解决了这类估计问题^[1]。对于非线性系统的估计问题，最经典并得到广泛应用的方法以扩展的卡尔曼滤波为代表，这类方法需要对模型进行线性化，同时要求期望的概率密度函数满足高斯分布，然而在对实际系统建模时，模型往往是非线性非高斯的。此时，最优估计很难实现。

    粒子（particle）滤波器——序列重要性采样粒子滤波器，是一种适用于强非线性、无高斯约束的基于模拟的统计滤波器^[2]。它利用一定数量的粒子来表示随机变量的后验概率分布，从而可以近似得到任意函数的数学期望，并且能应用于任意非线性随机系统。本文介绍一种估计性能更好的粒子滤波算法——高斯混合采样粒子滤波器(GMSPPF)，相比通常意义上的粒子滤波算法（SIR-PF），GMSPPF粒子滤波器具有更小的系统状态估计的均方误差和均值。

    贝叶斯滤波用概率统计的方法从已观察到的数据中获得动态状态空间（DSS）模型参数。在DSS模型中，包含状态和观测两个方程^[3][4]。其中状态转移方程（State Equation）通常写作

               （1）

这里，是已知，且是白噪声独立的随机序列，而且分布是已知的。观测方程表达式写为

                 （2）

这里：是白噪声序列，独立且分布已知。并且满足。

    图1描述了DSS模型中状态转移和似然函数的关系。假设初始时刻系统的状态分布已知，k时刻的已知信息序列表示。

图1  动态状态空间模型（DSSM）

    这样，贝叶斯估计的问题理解为：利用观测到的信息Y_k，求解系统状态的概率分布。若系统状态的变化是隐马尔柯夫过程，即当前系统的状态信息只与上一个时刻的状态有关，可以通过预测和更新的途径求解。

      （3）

这里：

     （4）

    假设x_k，w_k是相互独立的随机变量，满足

。于是，参考（1）式可以把（4）式写为

     （5）

    其中，是采样函数。当是已知时，x_k可以通过确定性方程（1）得到。 依据贝叶斯准则，系统状态估计量

     （6）

    其中，

       （7）

    另外，在给定 x_k，v_k，分布的条件下， y_k的条件概率依据测量方程（2）可以表示为如下形式

      （8）

    由（6）式可以看出，后验概率密度包含3个部分。先验概率似然函数和证据。如何获得这三项的近似是贝叶斯滤波的核心问题。更新方程（5）中观测值 用来对 的先验预测值修正，从而获得状态 的后验概率。方程（3）和（6）的递归关系构成了求解贝叶斯估计问题的两个步骤：预测与更新。如果(1)，(2)中的h_k，f_k是线性的，且噪声w_k，v_k满足高斯白噪声，可以把贝叶斯估计问题简化为卡尔曼分析解。但这类问题仅仅是实际问题中很小的一个部分。对于更多的问题，很难得到分析解。只有通过对问题的近似线性处理(扩展卡尔曼滤波)或其它途径（蒙特卡洛方法）实现非线性、非高斯问题的解。依据后面分析问题需要，这里重点对蒙特卡洛方法积分进行说明。

    在过去的二十多年，蒙特卡洛方法得到

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