该形式表明，当不进行污染治理投入的时候，污染量H等于消费量C，污染量随着消费的增加而增加；随着污染治理投入的提高，当 时，污染量为零，即消除了污染。
2.函数的一般形式。
我们将效用函数扩展到多个个体，假定不存在外部性影响，则效用函数和污染函数可以表示为：
i=1,2,……n

其中， ， ， 。
求解得到最优消费为：

（二）环境污染模型的建立
从国内外已有文献来看，一般的EKC模型形式为：

y为环境指标,x为人均GDP,u为随机扰动项, 、 、 和 为待估参数。
当 ， 时，y和x为线性关系； ， ， 时，y和x呈现“倒U”型二次曲线关系； ， ， 时，y和x呈“U”型二次曲线关系； ， ， 时，y和x为三次曲线关系，图形为“N”型； ， ， 时，y和x为三次曲线关系，图形为“反N”型；当 ， ， 时，表示环境污染不受经济水平的影响，两者之间没有关系。
根据Grossman and Krueger（1991；1994）对NAFTA环境效应得出的结论，经济增长对环境的影响表现为三个方面：规模效应（Scale Effects）、结构效应（Structural Effects）、技术效应（Technology Effects）。我们在此基础上对一般的EKC模型进行扩展，由于经济系统中产出的增长必然导致对环境资源需求的增加，同时向环境中排放各种废弃物的存量也在增加，经济发展会导致资源损耗和环境破坏，因此用人均GDP和人口密度来表示规模效应对环境的影响；用产业结构的变化表示结构效应对环境的影响；用单位GDP能耗表示技术效应对环境的影响；同时增加政策效应变量，用污染治理投入代表政策强度和政府政策导向。则本文扩展的EKC模型可以表示为：
其中，ln表示对变量取对数；H为环境污染量；i为个体单位，这里指省市自治区；t为时间序列； 表示截面效应； 是待估参数；y是人均GDP；G表示产业结构变化，这里为第二产业产值占全部产值的比重；M为非农业人口的人口密度；A为单位GDP能耗，表示技术进步；E为污染治理投入，表示政策强度；u为随机扰动项。
三、基于面板单位根和面板协整检验的实证分析
（一）数据的来源和说明
本文所用数据样本区间为1997-2005年，这是由于考虑到重庆从1997年才有数据，同时也是为了考察中国经济增长最为强劲这一时段对于环境的影响问题，从逻辑上来说这段时间变量的关联度应该最强。由于西藏缺少环境指标有关数据，因此我们考察的个体是除了西藏以外的大陆30个省市自治区。我们用工业废水排放量（FS，单位：万吨）、工业废气排放量（FQ，单位：亿标准立方米）和工业固体废弃物排放量（FW，单位：万吨）表示环境污染量，因此原模型变成了三个方程。其他字母所表示的变量如前文扩展的EKC模型所示：y是人均GDP（单位：亿元／万人）；A为单位GDP能耗（单位：万吨标准煤／亿元）；G表示产业结构变化，这里为第二产业产值占全部产值的比重（%）；M为非农业人口的人口密度（单位：万人／公顷）；E为污染治理投入（单位：万元），实际应用中对变量取了对数。所有数据均来自于有关年度《中国统计年鉴》、《中国环境统计年鉴》、《中国国土资源年鉴》等权威数据资料库。本文所用软件是Eviews5.1和Stata9.0。
（二）面板模型与估计、检验方法
计量经济理论表明，众多经济变量尤其是面板数据大都是非平稳变量，用非平稳变量进行回归分析结果很大程度上表现为伪回归。为避免伪回归现象，需要对面板数据进行单位根和协整检验。
1.面板单位根检验。
面板模型进行回归分析之前进行单位根检验，这是避免出现伪回归的前提条件。面板单位根检验方法有别于时间序列数据单位根检验，主要为：LLC检验(Levin、Lin and Chu，2002)、Breitung检验(Breitung，2000)、Hadri检验(Hadri，1999)是相同根的检验方法，IPS检验(Im、Pesaran and Shin，2003)、Fisher-ADF(Maddala and Wu，1999；Choi，2001)检验是不同根的检验方法；LLC检验、Breitung检验、IPS检验、Fisher-ADF检验原假设是含有单位根；Hadri检验原假设为不含有单位根。本文所用数据和变量的面板单位根检验结果如表1所示，表中斜体数字表示该检验的结果和其他检验结果相反。
表1 面板数据的单位根检验
检验方法 lnFS lnFQ lnFW lnY

水

平

值 LLC检验 0.19(0.57) -1.08(0.14) 2.84(0.99) 6.2(0.99)
Breitung检验 4.19(0.99） -0.02(0.49) 1.04(0.85) 10.7(0.99)
IPS检验 -0.24(0.41） -0.39(0.35) 5.58(0.99) 5.64(0.99)
Fisher-ADF检验 59.1(0.58) 70.14(0.22) 25.3(0.99) 8.36(0.99)
Hadri检验 13.4(0.00)* 46.6(0.00)* 16.8(0.00)* 12.87(0.00)*

一
阶
差
分
值 LLC检验 -23.7(0.00)* -13.1(0.00)* -26.2(0.00)* -8.63(0.00)*
Breitung检验 4.84（0.99） -0.02(0.49) -1.94(0.02)** 1.85(0.97)
IPS检验 -4.09(0.00)* -4.2(0.00)* -3.92(0.00)* -6.53(0.00)*
Fisher-ADF检验 170.9(0.00)* 116.8(0.00)* 144.8(0.00)* 80.8(0.05)**
Hadri检验 0.12（0.45） -1.1(0.86) 0.58(0.28) 0.26(0.34)
检验方法 lnG lnM lnA lnE

水

平

值 LLC检验 -0.48(0.31) 8.13(0.99) -6.63(0.00) 11.5(0.99)
Breitung检验 3.77(0.99） 7.02(0.99) 4.2(0.99) -0.52(0.3)
IPS检验 0.69(0.75） 15.2(0.99) -0.27(0.4) -0.48(0.31)
Fisher-ADF检验 62.5(0.46) 46(0.94) 50.7(0.8) 13.1(0.99)
Hadri检验 15.47(0.00)* 17.7(0.00)* 13(0.00)* 22.5(0.00)*

一
阶
差
分
值 LLC检验 -10.55(0.00)* -5.87(0.00)* -22.8(0.00)*
Breitung检验 4.97(0.99) -3.11(0.00)* -5.6(0.00)* -4.5(0.00)*
IPS检验 -4.88(0.00)* -7.24(0.00)* -3.85(0.00)* -6.3(0.00)*
Fisher-ADF检验 109(0.00)* 110.6(0.00)* 95(0.00)* 160.4(0.00)*
Hadri检验 0.03(0.49） -0.18(0.57) 0.53(0.29) -1.05(0.85)
*、**分别表示在1%、5%的显著性水平上拒绝原假设；括号中数据是该统计量的伴随概率。
上述检验结果除了lnFS、lnFQ、lnY、lnG一阶差分值的Breitung检验，lnA水平值的LLC检验显著与众不同外，其他四种或以上检验方法检验结论一致，均表明上述变量是I(1)的，也就是说本文模型所用变量是非平稳变量。
对于面板模型，如果变量是非平稳的，进行回归分析之前需要进行协整检验，以判断是否可能属于伪回归。

其中，
由差分方程的残差值以及Newey-West（1987）的估计量可以计算出 的长期值，用 表示。

通过协整方程的残差 以及回归式 可以得到panel rho-stat和group rho-stat统计量。 的长期方差 以及同期方差 分别为：

并且令：
另一方面对于panel t-stat和group t-stat统计量再次利用协整方程的的残差估计 计算 的方差 。记：
， 。
Pedroni对于相关的面板协整检验量作了如下的表示：
panel rho-stat：

panel t-stat：

group rho-stat：

group t-stat：

对于每个面板模型利用近似的均值和方差既可以进行标准化。
对于面板协整检验而言其原假设 ：对 ，即不存在协整关系；而对于组间统计量而言其备则假设为： ：对 ：而对于组内统计量而言其备则假设为： ：对 。
本文所用变量的面板协整检验结果如表2所示。
表2 本文所用变量的面板协整检验
变量 面板协整检验结果

解
释
变
量
lny、
lnG、
lnM、
lnA、
lnE

被解释
变量
lnFS 组内
统计量 Panel ν-stat
-10.44* Panel ρ-stat 12.33* Panel PP-stat 10218* Panel ADF-stat -10.48*
组间
统计量 Group ρ-stat
14.86* Group PP-stat 无 Group ADF-stat 无
被解释
变量lnFQ 组内
统计量 Panel v-Stat
-10.44*

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